<T->
          Vontade de Saber
          Matemtica 9 Ano

          Joamir Souza
          Patricia Moreno Pataro

          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio da Editora 
          FTD S.A.

          Quarta Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444 
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,          
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --

<P>
          Vontade de Saber Matemtica
          Copyright (C) Joamir Roberto de Souza e Patricia Rosana
          Moreno Pataro, 2009  
        
          Gerente editorial:
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora:
          Rosa Maria Mangueira
          Editora assistente:
          Alessandra Abramo
 
          Todos os direitos reservados  EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 
          156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP 
          CEP 01326-010 -- 
          Tel. (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet:
  ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,coord.editorial@ftd.~
          com.br~,
<p>
                                I
<R+>
<F->
Sumrio 

Quarta Parte

Captulo 6 

Semelhana ::::::::::::::::: 361
Segmentos proporcionais :::: 362
Teorema de Tales :::::::::: 371 
Semelhena de figuras :::::: 397
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 426
Reviso :::::::::::::::::::: 428 
Testes ::::::::::::::::::::: 439
<F+>
<R->
<p>
<113>
<tv. saber mat. 9>
<T+361>
<R+>
Captulo 6 -- Semelhana

_`[{imagens seguidas por legendas_`]

1 -- Trs fotografias: ampliada, original e reduzida.
 Legenda: Ilha de Pscoa, no Chile.
 2 -- Obra
 Legenda: Mona Lisa
 Ao lado, apenas o rosto onde h dois retngulos.
 
Conversando sobre o assunto 
 a) Que caractersticas comuns podem ser identificadas entre as 
fotografias apresentadas na imagem I? 
 b) Na imagem II  destacada parte da obra *Mona Lisa* e nela foi 
desenhada uma figura
na qual  possvel identificar os retngulos {a{b{c{d e {a{e{f{d. Mea os 
lados desses retngulos e calcule, para cada um deles, a 
<p>
  razo entre a 
medida do 
maior e do menor lado. O que voc pode observar nos resultados obtidos?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<114> 
Segmentos proporcionais 

  Estudamos anteriormente algumas razes entre grandezas, como a 
velocidade mdia (distncia e tempo) e a densidade demogrfica (populao e 
rea). 
  Neste captulo, estudaremos o que so razes entre segmentos de reta. 
Para isso, considere os segmentos a seguir.

<R+>
{a{b=8 cm
 {c{d=2 cm
<R->
  
  A razo entre os segmentos {a{b e {c{d  dada pela diviso da medida de ^c?{a{b* 
pela de ^c?{c{d*.

<R+>
?{a{b*?{c{d*=#"b=4
<R->
<p>
  Portanto, a razo entre os segmentos {a{b e {c{d  4, ou seja, ?{a{b*?{c{d*=4. 
  Agora, considere os retngulos {e{f{g{h e {i{j{k{l.

<F->
H pcccccccccccccccc G
   l                _
   l                _ 4 cm
   l                _
   l                _
E v----------------# F
        12 cm 

L pccccccccccccc K
   l             _ 
   l             _ 3 cm
   l             _
I v-------------# J
       9 cm
<F+>

  Vamos calcular as razes entre os segmentos {e{f e {f{g, e entre os 
segmentos {i{j e {j{k.
 
<F->
?{e{f*?{f{g*=#,;d=3
?{i{j*?{j{k*=#*c=3
<F+>
 
  Temos que ?{e{f*?{f{g*=
 =?{i{j*?{j{k*, isto , as razes entre os segmentos so iguais. Nesse 
caso, dizemos que os segmentos {a{f e {f{g so proporcionais aos segmentos 
{i{j e {j{k. 

<R+>
Dizer que a 
razo entre ^c?{a{b* 
e ^c?{c{d*  igual a 
5  o mesmo 
que dizer que 
o segmento {c{d 
"cabe" 5 vezes 
no segmento {a{b.

A razo entre dois segmentos  dada pela diviso entre as medidas 
desses segmentos, considerando uma mesma unidade de medida de 
comprimento.
<R->

<F->
A           B       C
o:::::::::::o:::::::o 
    5 cm      2 cm
<F+>

Razo entre ^c?{a{b* e 
^c?{b{c*  2,5, pois: 
 ?{a{b*?{b{c*=#?b=2,5
<p>
<R+>
Quando a razo entre dois segmentos  igual  razo entre outros dois 
segmentos, dizemos que eles so proporcionais.
<R->

<F->
D        E
o::::::::o 
    2 cm

F              G
o::::::::::::::o
      4 cm

H           I
o:::::::::::o
     3 cm

J                     K 
o:::::::::::::::::::::o
         6 cm
<F+>

<R+>
Os segmentos {d{e e {f{g so proporcionais 
aos segmentos {h{i e {j{k, pois: 

?{d{e*?{f{g*=?{h{i*?{j{k*=
  =#;d=#:f=#,b=0,5
<R->

<115>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. De acordo com a medida indicada em cada 
segmento, verifique quais igualdades 
so verdadeiras. 
<R->

<F->
A        B 
o::::::::o
   3 dm

G            H
o::::::::::::o
     4 dm

E                     F
o:::::::::::::::::::::o
         9 dm

C     D
o:::::o
  2 dm

I                 J 
o:::::::::::::::::o
       6 dm
<F+>
<p>
<R+>
a) ?{a{b*?{i{j*=?{g{h*?{e{f*
 b) ?{i{j*?{g{h*=?{a{b*?{c{d*
 c) ?{i{j*?{a{b*=?{g{h*?{c{d*
 d) ?{e{f*?{c{d*=?{i{j*?{g{h*
 e) ?{a{b*?{e{f*=?{c{d*?{g{h*
 f) ?{i{j*?{c{d*=?{e{f*?{a{b*
 g) ?{g{h*?{i{j*=?{a{b*?{c{d*
 h) ?{e{f*?{i{j*=?{a{b*?{c{d*

2. Determine a razo entre os segmentos: 
 a) {a{b=5 cm e {b{c=15 cm 
 b) {c{d=4 cm e {d{e=10 cm 
 c) {a{c=20 cm e {c{d=4 cm 
 d) {e{f=8 m e {f{g=16 m 
 e) {e{g=24 m e {c{d=4 m 
 f) {f{g=16 cm e {a{c=20 cm 

3. Sabendo que {m{n=60 cm, {o{p=15 cm e 
{q{r=100 cm, determine a medida de ^c?{s{t* 
de modo que ^c?{m{n* e ^c?{o{p* sejam proporcionais 
a ^c?{q{r* e ^c?{s{t*. 
<p>
4. Observe o retngulo {a{b{c{d. 
<R->

<F->
A               D
  pccccccccccccc
  l             _
  l             _ 4 cm
  l             _
  v-------------# 
B    10 cm     C
<F+>

<R+>
a) Qual a razo entre a medida do lado 
maior (comprimento) e a do lado menor 
(largura) desse retngulo? 
 b) Se aumentarmos 3 cm em cada lado 
desse retngulo, a razo entre o comprimento 
e a largura permanecer a 
mesma? Justifique. 
 c) Calcule a largura de um retngulo com 
60 cm de comprimento de modo que a 
razo entre o comprimento e a largura 
seja igual  do retngulo {a{b{c{d. 
<p>
5. Observe os segmentos de reta.
<R->

<F->
A              B 
o::::::::::::::o
       2x

E        F
o::::::::o
    4 cm

I                   J
o:::::::::::::::::::o
        9 cm

K              L
o::::::::::::::o
     Z2-5    

C               D 
o:::::::::::::::o
       6 cm

G       H
o:::::::o
  2y-7
<p>
M    N 
o::::o
 2 cm
<F+>

<R+>
Sabendo que as igualdades a seguir so 
verdadeiras, determine o valor de x, y e z. 

?{c{d*?{e{f*=?{i{j*?{a{b*

?{i{j*?{g{h*=?{a{b*?{m{n*

?{e{f*?{k{l*=?{c{d*?{i{j*

6. No mapa, cada 1 cm equivale a 150 km 
na realidade. 

_`[{mapa adaptado_`]

Distncia em linha reta entre 
Belm (PA) e Teresina (PI) 
 A distncia  de 5 cm.

a) Calcule, em quilmetros, a distncia 
real aproximada em linha reta entre 
Belm e 
  Teresina. 
 b) Com o auxlio de uma rgua, realize as 
medies e os clculos necessrios, 
e determine, em quilmetros, a distncia 
real aproximada em linha reta entre: 
Belm e Fortaleza, Teresina e Fortaleza. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<116> 
<R+>
Teorema de Tales
<R->
 
  J estudamos que duas retas so paralelas quando elas nunca se cruzam, 
mantendo sempre a mesma distncia uma da outra. Vimos tambm que os 
ngulos de inclinao de duas retas paralelas, em 
<p>
 relao a uma reta 
transversal, so congruentes.

<F->
     t  
      ^
        ^
r ::::::::j::::::::::::
            ^
              ^
s ::::::::::::::j::::::
                  ^
                    ^  
<F+>
r_ls

_`[{o moo diz_`]
  "Quando trs ou mais retas 
em um mesmo plano so 
paralelas entre si, dizemos 
que elas formam um feixe 
de retas paralelas." 

  Agora, estudaremos uma propriedade relacionada a retas paralelas e 
transversais, chamada Teorema de Tales. Essa propriedade pode ser enunciada 
da seguinte maneira.
 
<R+>
Um feixe de retas paralelas divide duas retas transversais, 
de maneira que os segmentos obtidos em uma so 
ordenadamente proporcionais aos segmentos obtidos na outra.
<R->
 
  Para verificarmos essa propriedade, consideramos dois casos: o 1 para 
feixes de retas paralelas que dividem uma transversal em segmentos 
congruentes; o 2 para feixes de retas paralelas que dividem a transversal em 
segmentos com medidas racionais e no congruentes. 
  
<R+>
Teorema 
de Tales: A propriedade 
recebeu esse nome 
em homenagem ao 
matemtico grego 
Tales de Mileto, 
que a desenvolveu. 
  Tales viveu por 
volta de 546 a.C. e 
 considerado um 
dos "sete sbios" da 
Antiguidade. Alm 
da Matemtica, 
desempenhou 
atividades em 
outras reas, como 
Engenharia, Filosofia 
e Astronomia. 
<R->

  1 caso 
  Considere o feixe de retas paralelas r, s e t, e as retas 
transversais u e v, em
que ^c?{a{b*==^c?{b{c*. Vamos mostrar que ^c?{d{e*==^c?{e{f*, ou seja, ?{a{b*?{b{c*=?{d{e*?{e{f*=1.

<F->
          {a         {d
r ::::::::::t::::::::::::::::::
                      
       {b               {e
s :::::::t:::::::::::::::::::::
                         
    {c                     {f
t ::::t::::::::::::::::::::::::
                               
    u                         v
<F+>

r_ls_lt 

  Traamos os segmentos {d{m e {e{n, paralelos a *u*, e obtemos os 
paralelogramos {a{b{m{d e {b{c{n{e, com ^c?{a{b*==^c?{d{m* e ^c?{b{c*==^c?{e{n*. Com isso, e sabendo que 
^c?{a{b*==^c?{b{c*, conclumos que ^c?{d{m*==^c?{e{n*. 
<p>
<117> 
  Considerando as retas paralelas que contm os segmentos {d{m e {e{n, e a 
reta transversal v, temos que os ngulos :?{m{d{e* e :?{n{e{f* so 
correspondentes, ou seja, :?{m{d{e*==:?{n{e{f*. De maneira semelhante, considerando as retas 
paralelas s e t, e a reta transversal v, temos que os ngulos :?{d{e{m* e :?{e{f{n* so 
correspondentes, ou seja, :?{d{e{m*==:?{e{f{n*. 
  Pelo caso {l{a{ao (lado, ngulo e ngulo oposto), temos que os tringulos 
{d{e{m e {e{f{n so congruentes. 
  Portanto, ^c?{d{e*==^c?{e{f* e os segmentos {a{b e {b{c so proporcionais aos 
segmentos {d{e e {e{f, ou seja, ?{a{b*?{b{c*=
 =?{d{e*?{e{f*=1.
  2 caso 
  Considere o feixe de retas paralelas r, s e t e as retas transversais 
u e v. Vamos mostrar que os segmentos {a{b e {b{c, que possuem medidas racionais, 
so proporcionais aos segmentos {d{e e {e{f, ou seja, ?{a{b*?{b{c*=
 =?{d{e*?{e{f*.

<F->
          {a         {d
r ::::::::::t::::::::::::::::::
                      
       {b               {e
s :::::::t:::::::::::::::::::::
                         
                             
t ::::t::::::::::::::::::::::::
  {c                         {f
    u                         v
<F+>

r_ls_lt

  Dividimos o segmento {a{b em duas partes de medida m `({a{b=2m`) e o 
segmento {b{c em trs partes de medida m `({b{c=3m`).
  Pelos pontos que dividem os segmentos {a{b e {b{c em partes de medidas *m*, 
traamos retas paralelas a r, s e t.
<118> 
  De acordo com o 1 caso, essas retas paralelas traadas determinam em 
*v* segmentos que possuem medidas iguais. Nesse caso, indicaremos essa 
medida por *n*. 
  Dessa forma, ?{a{b*?{b{c*=
 =2m3m=#:c e ?{d{e*?{e{f*=
 =2n3n=#;c.
  Portanto, os segmentos {a{b e {b{c so proporcionais aos segmentos {d{e e 
{e{f, ou seja, ?{a{b*?{b{c*=?{d{e*?{e{f*.
  Utilizando o Teorema de Tales, veja como podemos determinar a medida x 
na imagem.

<F->
         u     v  
              ^                
::::::::t::::::::j::::::::::::: r
        {a     {d ^
#f cm               ^ #i cm    
:::::t:::::::::::::::::j::::::: s
     {b              {e ^
    #aj cm                ^    
::t::::::::::::::::::::::::::j: t
  {c                       {f ^
                                ^ 
<F+>

r_ls_lt

  Como r_ls_lt, temos:

<R+>
?{a{b*?{b{c*=?{d{e*?{e{f*
 #!aj=9x
 6x=90
 6x6=906 
 x=15
<R->

  Portanto, x=15 cm. 

<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

7. Na figura, as retas r, s, t e u formam um feixe de retas paralelas. 
 De acordo com essa figura, verifique quais das igualdades so verdadeiras. 
<p>
<F->
              m       n
           {a     {e  
r :::::::::::t:::::::::::::::::::
                       
        {b           {f  
s ::::::::t::::::::::::::::::::::
                          
     {c                 {g    
t :::::t:::::::::::::::::::::::::
                              
  {d                       {h 
u ::t::::::::::::::::::::::::::::
                                
<F+>

a) ?{a{c*?{b{c*=?{e{f*?{e{g*
 b) ?{b{c*?{a{b*=?{f{g*?{e{f*
 c) ?{a{b*?{a{c*=?{e{f*?{e{g*
 d) ?{c{d*?{a{d*=?{f{h*?{e{h*
 e) ?{a{c*?{b{d*=?{f{h*?{e{g*
 f) ?{a{d*?{b{c*=?{e{h*?{f{g*
 g) ?{a{b*?{b{c*=?{f{g*?{e{f*
 h) ?{b{d*?{c{d*=?{f{h*?{g{h*
<R->

<119> 
<p>
<R+>
8. As retas p, q e r formam um feixe de retas 
paralelas? Justifique. 

<F->
p :::::::::::::::::::::

q :::::::::::::::::::::

r :::::::::::::::::::::
<F+>

9. Em cada imagem, calcule o valor de x sabendo 
que as retas r, s e t so paralelas. 
<R->

a)

<F->
  a                 b  
  ^                 
r ::j:::::::::::::::::::::::::::
      ^               
  #ab m ^        #i m   
          ^              
s ::::::::::j:::::::::::::::::::
        4 m  ^         x 
t ::::::::::::::j:::::::::::::::
                  ^         
<p>
b)

              ^                r
::::::::t::::::::j:::::::::::::::
        #e,d m    ^ #h,a m     s
::::::t::::::::::::::j:::::::::::
                      ^
     #i m               ^ x
                          ^    t
::t::::::::::::::::::::::::::j:::
                              ^
 a                               b 

c)

                             ^ r
:::::::::::::::::::::::::::j:::
   #d m             #e m ^     s
:::::::::::::::::::::::j:::::::  
                     ^  
   x          #i m ^
                 ^             t
:::::::::::::::j:::::::::::::::
             ^
           ^
         a  b

d)
     l         ^                
r :::r:::::::::::j:::::::::::::::
   x l             ^ #g m       
s :::r:::::::::::::::j:::::::::::
     l                 ^
#h m l                   ^ #aj m
     l                     ^    
t :::r:::::::::::::::::::::::j:::
     l                         ^
     a                           b 

e)
                 ^      
r :::::::::::::j::::::::::::::::
        #e m ^      #c m 
           ^              
s :::::::j::::::::::::::::::::::
  #h m ^                  x 
     ^                          
t :j::::::::::::::::::::::::::::
 ^                              
 a                               b 
<F+>
<p>
<R+>
_`[{para as atividades 10, 11, 13  18 pea orientao ao professor_`]

10. Calcule o valor de x e y em cada figura. 

11. Desafio 
 A imagem _`[no adaptada_`] representa um terreno que foi 
formado com 5 lotes, todos de frente para 
a rua Camar e com 8 m de largura cada 
um. 
 Sabendo que todos os lados do terreno 
so retos e que seu permetro  igual a 
110 m, determine a medida de *a* e *b*. 

<120> 
12. Clculo mental 
 Calcule mentalmente o valor de 
<p>
  *a* em cada 
figura sabendo que r_ls_lt. 
<R->
a)
<F->
              ^                
::::::::t::::::::j::::::::::::: r
        #aa m     ^ 241 m   
::::::t::::::::::::::j::::::::: s
                      ^
     #i m               ^ a    
:::t:::::::::::::::::::::::j::: t
                            ^
  u                           v 
<F+>

b)

<F->
  _      _              _   
  _      _              _~^ u
  _      _    #af m ~^ _
  _      _      ~^     _
  _ #d m _  ~^         _
  _     _^             _
  _ ~^  _              _
~_      _              _
  _      _              _
  _      _              _
::w::::::w::::::::::::::w:: v
  _ #b m _       a      _
  r      s              r
<p>
c)

^~_               _      _
  _ ^~ #ah m     _      _
  _     ^~       _      _
  _         ^~   _      _
  _             ^~_   a  _
  _               _ ^~  _
  _               _     ^_~ u
  _               _      _
  _               _      _
::w:::::::::::::::w::::::w:: v
  _     #ae m     _ #e m _
  r               s      t
<F+>

<R+>
13. Sabendo que em cada figura _`[no adaptada_`] r_ls_lt_lu, 
calcule os valores de *a*, *b* e *c*. 
 a) b+c=24 m
 b) a=11 m

14. Determine o valor de x em cada figura _`[no adaptada_`]. 
 a) r_ls_lt 
 b) m_ln_lo 
 c) p_lq_lt

<121>
15. Determine os valores de *p* e *q* na figura _`[no adaptada_`] sabendo 
que a soma dessas medidas  24,6 m. 
 
16. Calcule as medidas de *a*, *b*, *c* e *d* sabendo 
que as retas m, n, p e q _`[no adaptadas_`] formam um 
feixe de retas paralelas. 

17. Observe como podemos dividir um segmento 
em partes de mesma medida utilizando 
uma rgua, um par de esquadros 
e um compasso. 
 Para dividirmos o segmento {a{b em trs 
partes de mesma medida, por exemplo, 
traamos inicialmente um segmento auxiliar 
partindo de A. 
 Depois, utilizando o compasso com abertura 
qualquer, marcamos no segmento auxiliar 
os pontos P, Q e R, com a mesma 
distncia entre eles. 
 Utilizando a rgua, traamos ^c?{r{b*. 
<p>
 Em seguida, com os esquadros, traamos 
duas retas paralelas a ^c?{r{b* passando pelos 
pontos P e Q, determinando em ^c?{a{b* 
os pontos C e D. Esses pontos dividem 
o segmento {a{b em trs partes de mesma 
medida. 
 Agora, construa os segmentos {f{g=7 cm, 
{h{i=9 cm e {j{k=11 cm e, utilizando esses 
procedimentos, divida: 
 ^c?{f{g* em trs partes de mesma medida 
 ^c?{h{i* em quatro partes de mesma medida 
 ^c?{j{k* em cinco partes de mesma medida 
<R->

<R+>
18. Na figura _`[no adaptada_`], *a*, *b*, *c*, *d*, *e* e *f* representam medidas 
em centmetros. 
 Utilizando essas medidas e de acordo 
com a figura, escreva seis igualdades. 
<R->

<122> 
<p>
<R+>
Teorema de Tales e tringulos 
<R->

  O Teorema de Tales pode ser aplicado em situaes que envolvam 
tringulos.
  No {a{b{c, as retas r e s so paralelas ao lado ^c?{b{c*. 

<F->
      {a 
::::::t:::::::::: r
       
 {d      {e
:::t::::::::::::: s
          
 ----------u
{b          {c
<F+>

<R+>
Feixe de retas paralelas: ~:,?{b{c*, s e r 
 Retas transversais: ~:,?{a{b* e ~:,?{a{c* 
<R->

  De acordo com o Teorema de Tales, temos: ?{a{d*?{d{b*=
 =?{a{e*?{e{c*.

<R+>
Qualquer reta paralela a um dos lados de um tringulo que intercepta 
os outros dois lados, divide-os em segmentos proporcionais. 
<R->
 
  Veja, por exemplo, como podemos calcular a medida x no tringulo, 
sabendo que ^c?{d{e*_l^c?{a{b*.
 
   Aplicando o Teorema de Tales: 

<F->
                     {a
                    .,a.
                .,a     a.
            .,a           a. {e
        .,a                 .
    .,a                      a.
-"u----------------------------u.
{b                       {d     {c
<F+>

<R+>
{a{e=10 cm
 {e{c=x
 {b{d=15 cm
 {d{c=6 cm
<p>
10x=#,?f
 15x=60
 ?15x*15=#!}ae
 x=4
<R->

  Portanto, x=4 cm.
 
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
19. Determine a medida dos lados do tringulo.

<F->
          {a
          
           ^
#f,d cm      ^ 4x
               ^
   {d :::::::::::j? {e
 2x               ^ x+1
    ------------------
   {b     3x+5       {c
<F+>

20. Qual o permetro do tringulo {a{b{c? 
<R->
<p>
<F->
              {b  
              
       #e cm   
            ----u
                  
                  
#ab,e cm            13 cm
                    
                     
      ----------------u
     {a    20,3 cm    {c
<F+>

<123> 
<R+>
21. Calcule o valor de x em cada tringulo. 
<R->
<F->
a)
    #aj,e m  {h  #aj,e m                
{a ^dccccccccccccccccccc {b
       ^~                
         x ^~              
               ^~           
                {e ^~        
                       ^~     
                   #ad,g m ^~     
                               ^~
                                {c
<p>
b)
             {a
        #d m .a.
           .a   a.
      {e .a.      a.
       .a   a.      a.
   x .a       a.      a.
   .a           a.      a.
 -u---------------u-------u.
{c    #ba m      {f  #g m  {b

c)
   {a                    {b  
    ccccccccccccccccccccm
#g m                    #g m
                       
    {m ::::::::::::::t {n
                    
                   
                    
       #bx        18 m
                
               
              
              {c 
<p>
d)
     {a
      v
      l
      l 
      l  
#ae m l    x+7 m
      l    
      l     
   {d r:::::: {f
      l       
 #f m l         8 m
      v---------u 
<p>
e)
       l.
       l a.
       l   a.
 #aa m l     a.
       l       a.
       l         a.
       l           a.
    {p l.            a.
       l a.            a.
#f,e m l   a.            a.
       l     a.            a. 
       v-------u-------------.
      {b 2x   {o   3x+1 m  {c
<F+>

<R+>
22. Determine as medidas de x e y em cada 
tringulo. 
 a) ^c?{b{c*_l^c?{d{e*
  y-x=9 cm
<p>
<F->
             {a
           x . 10 cm
           .a  
      {b .h::::: {c
       .a        
   y .a            17,5 cm
   .a              
 -u-----------------u
{d                  {e
<F+>

b) ^c?{g{h*_l^c?{i{j*
  y=x-15 cm 

<F->
       {f
  p^^^^^v
  l     l
  l     l  18 cm
  l     l  
  l  {h r::: {g    
x l     l    
  l     l     
  l   y l       33,6 cm
  l     l       
  l     l            
  vv---------u 
       {i         {j
<F+>

23. Calcule as medidas de x, y e z no esquema 
a seguir. 

<F->
       p^^^^pcccccccccccccccccccma
       l    l                 .a
       l  x l        #aej m .a
       l    l             .a 
304 m l    r:::::::::::!a
       l    l         .a
       l  y l       .a #acj m
       l    l     .a
       l    r:::!a
       l  z l .a 100 m
       vla
<F+>

24. Desafio 
 No {a{b{c, D  o ponto mdio do lado ^c?{b{c* 
e ^c?{e{d*_l^c?{a{c*. Sabendo que o permetro desse 
tringulo  61,2 cm, determine a medida de x.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
<124>
<p>
<R+>
Semelhana de figuras 
<R->

  Marcela imprimiu uma mesma figura em dois tamanhos diferentes. 
  Note que as imagens _`[no adaptadas_`] tm a mesma forma, diferenciando-se 
apenas pelo tamanho. 
  Na Matemtica, quando isso acontece, dizemos que essas so figuras 
semelhantes. Ao ampliar, reduzir ou reproduzir uma figura, obtm-se figuras 
semelhantes.
 
<R+>
Multifuncionais: Os multifuncionais 
so equipamentos 
que renem, em 
geral, as funes de 
impressora, scanner, 
fax e mquina 
fotocopiadora. Esses 
equipamentos podem 
ser ajustados para 
ampliar ou reduzir 
figuras. 
<p>
Polgonos semelhantes
<R->
 
  Observe dois quadrilteros semelhantes. 

<F->

      {a
       l,.
       l   a,. 14 cm
       l 60  a,.
       l           a,.  {d
       l               a,.
       l           120 l
20 cm l                 l
       l                 l
       l                 l 13 cm
       l                 l
       l                 l
       l                 l
       v-----------------l
      {b     12 cm     {c

:A=60
:D=120
<p>
      {a
       l,.   7 cm
       l   a,. 
       l 60  a,.  {d
       l           a,. 
#aj cm l       120 l
       l             l
       l             l 6,5 cm
       v-------------l
      {b   6 cm   {c
<F+>

:A=60
 :D=120

  Note que os ngulos correspondentes possuem medidas iguais, ou seja, 
so congruentes. 

<R+>
 med`(:A`)=med`(:A`)=60 
 med`(:B`)=med`(:B`)=90 
 med`(:C`)=med`(:C`)=90 
 med`(:D`)=med`(:D`)=120
<R->
 
  As razes entre os lados correspondentes dos quadrilteros {a{b{c{d e 
ABCD so 
<p>
 iguais, ou seja, so proporcionais.
 
<R+>
?{a{b*?{a{b*=#;}aj=2
 ?{b{c*?{b{c*=#,;f=2
 ?{c{d*?{c{d*=136,5=2
 ?{a{d*?{a{d*=#,g=2
<R->

<125> 
<R+>
Dizemos que dois polgonos so semelhantes quando os ngulos 
correspondentes so congruentes e os lados correspondentes so proporcionais. O valor 
da razo entre os lados correspondentes  chamado razo de semelhana. No caso 
apresentado, a razo de semelhana entre os polgonos {a{b{c{d e ABCD 
 2.
 ?{a{b*?{a{b*=?{b{c*?{b{c*=
  =?{c{d*?{c{d*=?{a{d*
  ?{a{d*=2 :> razo de semelhana
<p> 
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

_`[{para as atividades 25, 26, 27 e 28 pea orientao ao 
  professor_`]

25. Identifique os pares de figuras semelhantes 
e, para eles, calcule a razo de semelhana 
entre as figuras I e II. 
 26. Utilizando rgua e transferidor, verifique 
as medidas necessrias e identifique os 
pares de polgonos semelhantes. 

27. Observe as medidas indicadas nos polgonos 
semelhantes A, B e C e resolva 
as questes.
 a) Qual dos polgonos  uma ampliao 
do polgono B? E uma reduo? 
 b) Qual a razo de semelhana entre os 
polgonos A e B? E entre A e C? 
<p>
 c) Desenhe e indique as medidas dos lados 
de um polgono D cuja razo de 
semelhana entre C e D seja #?b.
<R->
 
<126>
<R+>
28. Calcule o permetro dos polgonos representados 
em cada item sabendo que eles 
so semelhantes. 

29. Junte-se a um colega e verifiquem se o 
que cada pessoa diz est correto. Em 
seguida, justifiquem suas respostas. 

a) "Todos os crculos so 
semelhantes entre si." 
 
b) "Todos os polgonos 
regulares que 
possuem a mesma 
quantidade de lados 
so semelhantes." 

c) "Todos os tringulos 
so semelhantes."
<p> 
30. Desafio 
 A razo de semelhana entre dois hexgonos 
regulares  #=b. Determine a medida 
do lado de cada um desses hexgonos 
sabendo que o permetro do maior deles 
 50,4 cm. 

31. Observe os pentgonos regulares. 
<R->

<F->
         .a
       .a   ^ 
     .a       ^
   .a           ^  
 .a               ^
         {a         
                     
                 
                 
               
     ---------
       5,5 m
<p>
     .a  
   .a   ^ 
 .a       ^
    {b     
           
         
   -----
   4,4 m
<F->

<R+>
a) Esses pentgonos so semelhantes? Justifique. 
b) Qual a razo de semelhana entre os pentgonos A e B?
c) Qual a razo entre os permetros dos pentgonos A e B? 
d) O resultado obtido nos itens *b* e *c* foi o mesmo? Isso tambm ocorre com outros polgonos semelhantes?
 
32. De acordo com os quadrados, resolva.
<R->
<p>
<F->
pccccccccc
l         _
l   {a    _
l         _
v---------#
  5,2 cm

pcccccccccccccc
l              _
l              _
l      {b      _
l              _
l              _
v--------------#
    6,5 cm
<F+>

<R+>
a) Qual a razo de semelhana entre os 
quadrados A e B? E a razo entre 
suas reas? 
 b) Construa outros dois quadrados e calcule 
a razo de semelhana entre eles 
e a razo entre suas reas. 
 c) De acordo com os resultados obtidos 
nos itens *a* e *b*, o que voc pode perceber?
<R->

<127> 
Homotetia
 
  Podemos ampliar ou reduzir uma figura de diversas maneiras como, por 
exemplo, utilizando um pantgrafo, um programa de computador ou uma 
transformao chamada homotetia. 

<F->
pccc
l    
v-----u

pcccccc
l       
l        
v---------u

pccccccccc
l          
l           
l            
l             
v--------------u
<F+>

<R+>
Pantgrafo: O pantgrafo  
um instrumento 
composto de 
barras 
<p>
  articuladas 
destinado a 
reproduzir, ampliar 
ou reduzir figuras.
<R->
 
  Observe como podemos ampliar, na razo de 1 para 2, o {a{b{c utilizando 
homotetia. 
  Determinamos um ponto O qualquer, externo ao tringulo, e traamos as 
semirretas :,?{o{a*, :,?{o{b* e :,?{o{c*.

<F->
     {a
     .
   .a  
 -u-----u
{b      {c
<F+>

  Com auxlio de um compasso, marcamos os pontos A, B e C de maneira 
que {o{a=2{o{a, {o{b=2{o{b e {o{c=2{o{c. 
  O {a{b{c  uma ampliao na razo de 1 para 2 do {a{b{c.
 
<128>
<p>
  Agora, veja como podemos reduzir na razo de 2 para 1 o quadriltero 
{a{b{c{d. 
  Determinamos um ponto O interno ao quadriltero {a{b{c{d e traamos os 
segmentos {o{a, {o{b, {o{c e {o{d. 

<F->
{a             {d 
 cccccccccccccc.
                a.
                  a. 
                    a.
     -----------------u.
    {b                  {c 
<F+>

  Utilizando um compasso, marcamos os pontos A, B, C e D, de 
maneira que {o{a=?{o{a*2, {o{b=?{o{b*2, {o{c=?{o{c*2 e {o{d=?{o{d*2. Obtemos assim o 
quadriltero ABCD, que 
 uma reduo na razo de 2 para 1 do quadriltero {a{b{c{d. 

<R+>
<p>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

_`[{para as atividades de 33 a 36, pea orientao ao 
  professor_`]

33. Com base no pentgono regular B, foram construdos os pentgonos A 
e C.
 a) Qual a medida do lado do pentgono B? E do pentgono C? 
 b) Qual a razo de ampliao do pentgono C em relao ao pentgono 
B?
 c) Qual a razo de reduo do pentgono A em relao ao pentgono B? 

34. Copie o polgono e, utilizando homotetia: 
 a) amplie-o na razo de 1 para 2 
 b) reduza-o na razo de 1 para 0,5 
<p>
 c) reduza-o na razo de 1 para 0,75 
 d) amplie-o na razo de 2 para 5 
<R->

<F->
                 ~
     #c,b cm ~^    
         ~^   120 
        l #ajc        4,8 cm
        l                
#c,f cm l               
        l           65  
        v-----------------u
             5,2 cm
<F+>

<R+>
35. Construa um tringulo equiltero com lado medindo 3 cm. Em 
seguida, marque um ponto O externo ao tringulo e amplie-o na razo de 1 para 3,5. 
 36. Copie cada polgono e reduza-o por homotetia numa razo de 1 para 
0,6.
<R->
<p>
<F->
a)
        4,5 cm
      pccccccccc
      l    120 
6 cm l            7 cm
      l            
      l        60 
      v--------------u
           8 cm

b)
      4,5 cm .,
          .,a     
      .,a   113  
     77          5 cm
                   
4 cm  110   60 
       --------------u
           5,5 cm
<F+>

<129> 
<R+>
Tringulos semelhantes 
<R->

  Estudamos neste captulo que dois polgonos so semelhantes quando 
satisfazem a duas condies: 
os ngulos internos correspondentes tm medidas iguais, ou seja, so 
congruentes os lados correspondentes so proporcionais 
  Veja como podemos verificar se os tringulos a seguir so semelhantes. 
 
<F->
                   {a
                   .
                 .a  
               .a84 
    11,7 cm .a        
           .a            9 cm
         .a              
       .a                 
     .a                    
   .a 40             56 
 -u--------------------------u
{b          14,1 cm         {c
<F+>

A=84
 B=40
 C=56
<p>
<F->
            {a
            .
          .a  
7,8 cm .a84  6 cm
      .a        
    .a 40  56
  -u--------------u
 {b    9,4 cm   {c
<F+>

A=84
 B=40
 C=56

  Os ngulos internos correspondentes so congruentes:

<R+>
med`(:A`)=med`(:A`)=84
 med`(:B`)=med`(:B`)=40
 med`(:C`)=med`(:C`)=56
<R->
 
  Os lados correspondentes so proporcionais: 

<F->
?{a{b*?AB*=?{b{c*?BC*=
  =?{a{c*?AC*=#:b
<F+>
<p>
  Dessa forma, verificamos que {a{b{c$?;ABC. 

<R+>
A notao {a{b{c$?;ABC indica que esses tringulos 
so semelhantes. 
<R->

  Porm, existem trs casos em que  possvel verificar se dois 
tringulos so semelhantes conhecendo apenas alguns de seus elementos. 

_`[{a moa diz_`]
  "Os casos de semelhana 
de tringulos podem ser 
demonstrados." 

<R+>
1 caso ({a{a):

Dois tringulos so 
semelhantes quando 
possuem dois ngulos 
correspondentes 
congruentes. 
<p>
<F->
                      {f
                     ~_
                 ~^   _
             ~^       _
         ~^           _
     ~^ 30          _
 }-------------------#
{d                     {e

               {f
             ~_
         ~^   _
     ~^ 30  _
 }-----------#
{d            {e
<F+>

Temos que {d{e{f$?;DEF, pois med`(:D`)=med`(:D`)=30 e med`(:E`)=med`(:E`)=90.

2 caso ({l{a{l):
  
Dois tringulos so 
semelhantes quando 
possuem dois lados 
correspondentes 
proporcionais e os 
ngulos formados por 
eles congruentes. 
 
<F->
              {g
             ~
   5 cm ~^  
     ~^33 
 }--------
{h   4 cm  {i

                       {g
                     ~
                 ~^  
     7,5 cm ~^     
         ~^        
     ~^ 33      
 }--------------
{h     6 cm     {i
<F+>

Temos que {g{h{i$?;GHI, pois ?{g{h*?GH*=#;c e 
  med`(:H`)=med`(:H`)=33

3 caso ({l{l{l):
 
Dois tringulos so 
semelhantes quando 
possuem os trs lados 
correspondentes 
proporcionais. 
<p>
<F->
                   {l  
                 $^
       6 cm ~^^
         ~^  ^ 3,2 cm 
     ~^    ^  
 }-------^
{j  4 cm {k

                      {l  
                     $^
                 ~^^
    7,5 cm  ~^  ^  
         ~^    ^ 4 cm 
     ~^      ^  
 }---------^
{j  5 cm  {k
<F+>

Temos que {j{k{l$?;JKL, pois ?{j{k*?JK*=
  =?{k{l*?KL*=
  ={j{lJL=#e.
<R->
 
<130>
<p>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 
 
_`[{para as atividades 37, 39, 40, 46, 45, 47 e 48, pea orientao ao professor_`]

37. Identifique os pares de tringulos semelhantes desenhados na malha 
quadriculada _`[no adaptada_`].

38. Observe os tringulos {a{b{c e {d{e{f. 
<R->

<F->
                       {c
                     .,
                 .,a    
       6 cm .,a    55  3,9 cm
         .,a              
     .,a 40              
 ."u------------------------u
{a                          {b
<p>
{f                     {e
 cfmcccccccccccccccccccl
     a,. 40          l 
         a,.           l
       3 cm a,.  55 l
                 a,.   l
                     a,l
                       {d
<F+>

<R+>
 a) Esses tringulos so semelhantes? 
 b) Caso sejam semelhantes: 
 Qual a razo de semelhana entre 
os tringulos {a{b{c e {d{e{f? 
 Qual o caso de semelhana? 
 
39. Identifique os pares de tringulos semelhantes _`[no adaptada_`] e indique o caso de 
semelhana.

<131> 
40. Utilizando uma rgua, realize as medies 
necessrias e responda.
 a) Os tringulos {a{b{c e {e{d{c so semelhantes? 
Caso sejam se-
<p>
  melhantes, qual o caso de semelhana? 
 b) Esses tringulos so congruentes? 
Justifique. 

41. Determine a medida x sabendo que em cada 
item os tringulos so semelhantes. 

<F->
a)
     9 m
cmcccccccccccccm
  a.          
    a.        
10 m a.     
        a.  
          ^   

       14 m
cmccccccccccccccccccccccm
  a.                   
    a.                 
      a.              
      x a.           
          a.       
            a.       
              a. 
                ^
<p>
b)
     l.
     l a.
6 m l   a. 10 m
     l     a.
     v-------u. 

  l.
  l a.
  l   a.
x l     a. 18 m
  l       a.
  l         a.
  l           a.
  v-------------u. 
<p>
c)
       #
      _
8 m  _ x        
      _
   ---#

            #
           _
           _
           _
12,8 m    _ 11,2 m
           _
           _
     ------#
<F+>

42. Contexto 
 Segundo relatos, Tales de 
  Mileto viveu por 
algum tempo no Egito, onde despertou 
admirao ao calcular a altura de uma 
pirmide. 
 Para realizar esse feito, Tales fincou verticalmente 
no cho uma estaca de tamanho 
conhecido e, no momento em que a 
sombra da estaca ficou do tamanho da 
estaca, calculou que a altura da pirmide 
seria igual ao comprimento de sua 
sombra mais o comprimento da metade 
de sua base. 
 Representando essa situao por um modelo 
matemtico, obtemos os tringulos 
{a{b{c e {d{e{f.

<F->
{a                {d
 l.                l.
 l a.              l a.
 l   a.            l   a
 l     a.          v----u.
 v-------u.       {e    {f
{b        {c
<F+>

a) Esses tringulos so semelhantes? Caso 
sejam, qual o caso de semelhana? 
 b) De acordo com esses tringulos, qual 
igualdade podemos escrever para obter 
a altura da pirmide?

43. Em certa hora do dia, uma pessoa de 
1,65 m de altura projeta uma sombra de 
1,16 m. Nesse mesmo instante, uma rvore 
projeta uma sombra de 
  13,92 m.
<R->

<F->
         #
        _              #
        _             _ 
        _             _
        _             _ 1,65 cm
        _ rvore      _
        _         ----#
        _         1,16 cm 
        _
--------#
 13,92 m
<F+>

<132> 
<R+>
44. Desafio 
 No {a{b{c, ^c?{b{c*_l^c?{d{e*. 

<F->
                    {a
                    .
                  .a  
        #e,b cm .a      4,4 cm
              .a        
            .a  3,6 cm  
       {d }h:::::::::::::: {e
#b,f cm .a                 
      -u--------------------u
     {b                     {c
<F+>
<p>
Sem realizar medies, responda. 
 a) Os tringulos {a{b{c e {a{d{e so semelhantes? 
Justifique. 
 b) Qual o permetro do {a{b{c? 
 c) Junte-se a um colega e conversem a 
respeito dos procedimentos que vocs 
utilizaram para resolver os itens 
*a* e *b*. 

45. Calcule a medida x em cada figura _`[no adaptada_`]. 

46. Observe a imagem _`[no adaptada_`].
 a) Qual caso garante a semelhana entre 
os tringulos {a{b{c e {b{d{e? Escreva 
os lados proporcionais correspondentes. 
 b) Qual a razo de semelhana entre os 
tringulos {a{b{c e {b{d{e? 
 c) Sabendo que {a{c=12,6 cm, {a{b=21 cm 
e {d{e=8,1 cm, calcule a medida de ^c?{b{e*.
<p>
47. Determine as medidas de x e y em cada 
figura _`[no 
  adaptada_`]. 
 48. Na figura _`[no adaptada_`], {a{b{c{d  um losango cujo 
lado mede 4,5 cm. Sabendo 
que {d{e=7,5 cm, determine 
a medida de ^c?{a{f*. 
<R->

<133> 
<R+>
Refletindo sobre o captulo 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Quais procedimentos voc utiliza para verificar se dois segmentos 
de reta so proporcionais
a outros dois? 
 3. Com auxlio de figuras, explique com suas palavras o Teorema de 
Tales.
 4. Qual a diferena entre congruncia e semelhana de polgonos? 
 5. Leia o que Jos est dizendo. 
<R->

  "Podemos afirmar que dois 
polgonos quaisquer so 
semelhantes se os lados 
correspondentes forem 
proporcionais."
 
<R+>
A afirmao feita por Jos  verdadeira? Justifique. 

6. Quais casos de semelhana de tringulos voc conhece? 
 7. Para que serve a transformao de homotetia? 

8. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste 
captulo, elabore e escreva
algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, troquem 
as questes
que vocs elaboraram e discutam as resolues.

_`[{seis imagens adaptadas_`]

1 -- Trs fotos: original, reduzida e ampliada.
 2 -- "Maquete de um prdio"
 3 -- Um cavalete.
 4 -- Trs hexgonos, um de cada tamanho: grande, mdio e 
pequeno. O mdio e o pequeno esto no interior do grande. 
 5 -- Um telefone celular com comprimento  10,9 cm e largura 6,5 cm.
 6 -- Um prdio e a sombra dele no cho; ao lado, uma pessoa e a sombra dela.
<R->

<134>
<R+>
Reviso

Anote as respostas 
no caderno. 
 
_`[{para as atividades 50, 51, 53, 54 e 55, pea orientao ao professor_`]

49. Dado {a{b=16 cm, {c{d=6 cm, 
{e{f=42 cm e {g{h=8 cm, determine a razo 
entre: 
 a) ^c?{e{f* e ^c?{c{d* 
 b) ^c?{a{b* e ^c?{g{h* 
 c) ^c?{e{f* e ^c?{g{h* 
<p>
50. Observe os segmentos _`[no adaptados_`] e escreva, por meio 
de igualdades de razes, alguns pares de 
segmentos proporcionais. 

51. Em qual das figuras _`[no adaptadas_`] as retas *a*, *b* e *c* so 
paralelas? 

52. Sabendo que as retas p, q e r so paralelas, 
determine o valor de x. 
 
<F->
  ^                    
p ::j::::t::::::::::::::
   5 ^  3              
q ::::::t:::::::::::::::
         ^                  
    x      ^ 20               
             ^      
r ::t:::::::::::j::::::: 
                 ^                 
   b               a        
<F+>

53. Duas retas transversais determinam 8 pontos 
sobre um feixe de retas paralelas, 
conforme mostra a figura _`[no 
  adaptada_`]. 
 Determine as medidas dos segmentos {a{b, 
{b{c e {c{d sabendo que {a{d=44 m. 

54. Sabendo que x+y=33,6, calcule os valores 
de x e y. 
<R->

<135> 
<R+>
55. Calcule o valor de y _`[no adaptado_`] sabendo que 
^c?{a{b*_l^c?{d{e*. 

56. Em cada item, determine o permetro do 
{a{b{c.
 
<F->
     {a
      l.
      l a.
11 m l   a. 3y-2
      l     a.
   {m v-------u. {n
      l         a.
    y l           a. 7 m
      v-------------u. 
     {b    12 m     {c
<p>
b)
               {c
               .a.
       10 m .a   a. 3x-3 
           .a       a.
      {e -u-----------u. {d
       .a               a.
x+2 .a                   a. 2x
   -u-----------------------u.
  {a         35 m           {b
<F+>

57. No {a{b{c, M  o ponto mdio de ^c?{a{b*.  
correto afirmar que N  o ponto mdio 
de ^c?{a{c*? Justifique. 

<F->
  {a
   l.
   l a.
   l   a.      
   l     a.
{m v-------u. {n
   l         a.
   l           a.    
   v-------------u. 
  {b              {c
<F+>
<p>
58. Determine, em graus, os valores de x, y e 
z sabendo que os polgonos so semelhantes. 

<F->
          .,l 
      .,a   l
  .,a  60 l         
l 120     l         .,l
l           l     .,a z l
l           l   l y     l
l           l   l       l
l           l   l     x l 
v-----------l   v-------l   
<F+>

59. Qual a razo de semelhana entre os polgonos 
ABCDEF e {a{b{c{d{e{f?
 
{a{b=2 cm
 {b{c=0,7 cm
 {c{d=1 cm
 {d{e=0,7 cm
 {e{f=2 cm
 {f{a=2 cm
<p>
AB=6 cm
 BC=2,1 cm 
 CD=1 cm
 DE=2,1 cm
 EF=6 cm
 FA=6 cm 

60. Verifique se cada afirmativa  verdadeira 
ou falsa. 
 a) As somas dos ngulos internos de dois 
polgonos semelhantes so sempre 
iguais. 
 b) Se a medida dos lados correspondentes 
de dois polgonos for proporcional, 
ento eles so semelhantes. 
 c) A razo de semelhana entre dois polgonos 
 sempre um nmero inteiro. 
 d) A razo de semelhana entre dois polgonos 
congruentes  1. 
 Agora, junte-se a um colega e reescrevam 
as alternativas que vocs julgaram falsas, 
corrigindo-as. 
<p>
61. Construa um quadriltero e, utilizando homotetia, 
amplie e reduza esse quadriltero. 
Depois, troque sua construo com 
um colega e determine a razo de semelhana 
utilizada por ele. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<136>
<R+>
62. Calcule a medida dos ngulos indicados em cada tringulo.

<F->
             {c
             .a.
           .a   a. 
         .a       a. 
       .a45   45a.
  {g -u---------------u. {h
   .a :a           :b a. 
 -u-----------------------u.
{a                         {b 

^c?{a{b*_l^c?{g{h*
<p>
               {e
               .a. 
          {n .a   a.
           .a. :e  a. 
         .a   a.      a. 
       .a  84 a.      a.
     .a           a.      a.   
   .a           :m a. 43 a. 
 -u--------------------------u.
{f                    {m      {d 
<F+>

^c?{d{e*_l^c?{m{n*

63. Escreva o caso de semelhana entre os tringulos de cada item. 

<F->
l.
l a.
l   a.
l30 a.
l       a.
l         a.
l           a.
v-------------u. 
<p>
pcccccccccccccma
l      60 .a
l         .a
l       .a
l     .a
l   .a
l .a
la 

          .
        .a  
3 cm .a     
    .a        
  .a 60      
-u--------------u
      2 cm

              .
            .a  
          .a     
4,5 cm .a        
      .a           
    .a              
  .a 60            
-u--------------------u
          3 cm
<p>                   
                     $^
                 ~^^
       4 cm ~^  ^ 
         ~^    ^ 2,5 cm 
     ~^      ^  
 }---------^
    2 cm 

            $^
  2 cm ~^^
    ~^  ^ 1,5 cm 
}-----^
 1 cm 
<F+>

64. Calcule o valor de x em cada item. 

<F->
 ,.
    a,.
5      a,.
            a,.
     -----------u".
           8
<p>
     ,.
3,75   a,.
       -----u".
           x

l,.
l   a,. 7 m
l       a,.
l           a,.        4 m
v---------------u"------------.
     #e,f m         a,.       l
                      x a,.   l
                            a,l 
<F+>

65. Desafio 
 Uma escada com 2 m de comprimento apoiada em uma parede atinge 1,2 m 
de altura, formando um ngulo de 65 com o cho. Qual deve ser o 
comprimento
de uma escada que, quando apoiada nessa parede, forma o mesmo 
ngulo com o cho e atinge 1,8 m de altura? 
<p>
Testes 

Anote as respostas 
no caderno. 

66. (SARESPSP) Joana quer dividir um segmento {a{b em 
5 partes iguais. Traou ento uma semirreta, a partir de 
A, fazendo um ngulo agudo com {a{b. Tambm a partir 
de A, marcou na semirreta 5 pontos distantes igualmente 
um do outro: P1, P2, P3, P4 e P5. Ligou P5 a *B* e traou 
P1C, paralelo a P5B. Concluiu ento, corretamente, que: 
 a) {a{c  metade de {a{b 
 b) {a{c  igual a {a{p1 
 c) {a{c  a quinta parte de {a{b 
 d) {a{c  a quarta parte de {a{b 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<137> 
<p>
<R+>
67. (Cefet--AL) Sendo ^c?{m{n*_l^c?{b{c*, o valor de 
x : 

<F->
               {a
               .a.
          x .a    a.      
           .a       a.
      {m -u-----------u. {n
       .a     #bj       a.
 10 .a                   a.   
   -u-----------------------u.
  {b          #cj           {c 
<F+>

a) 10 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 30 
 e) 35 

68. (UCS--RS) Devido  existncia de um lago 
entre dois pontos P e Q, um topgrafo, 
para avaliar a distncia entre eles, utilizou 
uma estratgia cuja representao 
grfica (na qual foi usada escala de 
1:10.000, e o segmento {p{q  
<p>
  paralelo ao 
segmento {r{s) est a seguir. 

<F->
     pccccccccccc
{p   l   lago    _    {q  
 cccpcccccccccccccccm
    v-----------#   
                    
                   3,6 cm
                 
                
         #b cm   
     {r ::::::t {s
             
             1,8 cm
           
<F+>

Com base nessas informaes, qual  a 
distncia real entre os pontos P e Q? 
 a) 600 m 
 b) 540 m 
 c) 400 m 
 d) 720 m 
 e) 1.080 m
<p>
69. (Unesp--SP) A figura representa um tringulo 
retngulo de vrtices A, B e C, 
onde o segmento de reta {d{e  paralelo 
ao lado ^c?{a{b* do tringulo. 

<F->
         {c
    p^^^^l.
    l    l a.
    l    l   a.      
20 l    l     a.
    l {d v-------u. {e
    l    l         a.
    l    l8         a.    
    vv-------------u. 
        {a     15      {b            
<F+>

Se {a{b=15 cm, {a{c=20 cm e {a{d=8 cm, 
a rea do trapzio {a{b{e{d, em cm2, : 
 a) 84 
 b) 96 
 c) 120 
 d) 150 
 e) 192 
<p>
70. (PUCRS) Para medir a altura de uma rvore, 
foi usada uma vassoura de 1,5 m, 
verificando-se que, no momento em que 
ambas estavam em posio vertical em 
relao ao terreno, a vassoura projetava 
uma sombra de 2 m e a rvore, de 16 m. 
A altura da rvore, em metros, : 
 a) 3,0 
 b) 8,0 
 c) 12,0 
 d) 15,5 
 e) 16,0 

71. Desafio 
 (UFVMG) Sob duas ruas paralelas de 
uma cidade sero construdos, a partir 
das estaes A e B, passando pelas estaes 
C e D, dois tneis retilneos, que 
se encontraro na estao X, conforme 
ilustra a figura a seguir. 
<p>
<F->
           X
           o
           ^  
 tnel 1    ^ tnel 2
               ^
     {c          ^ {d    
:::::::o:::::::::::o::::: rua 2   
1 km                ^ 1,5 km
:::::o:::::::::::::::::o: rua 1
     {a                 {b
<F+>

A distncia entre as estaes A e C  de 
1 km e entre as estaes B e D, de 1,5 km. 
Em cada um dos tneis so perfurados 
12 m por dia. Sabendo que o tnel 1 demandar 
250 dias para ser construdo e 
que os tneis devero se encontrar em 
X, no mesmo dia,  correto afirmar que o 
nmero de dias que a construo do tnel 
2 dever anteceder  do tnel 1 : 
 a) 135 
 b) 145 
 c) 125 
<p>
 d) 105 
 e) 115 

72. (UdescSC) A rea, em m2, do quadrado 
{a{b{c{d, da figura a seguir, : 

<F->
{a               {b 
 pfmcccccccccccccl
 l   a,.         l
 l       a,.     l  
 l           a,. l {f            
 l            p^^l,.
 l     #d,h m l  l   a,. 
 v------------v--v-------u".{e
{d             {ck         k 
                 r:::::::::l
                    8 m
<F+>

Chame de x a 
medida do lado 
do quadrado. 

a) 100 
 b) 144 
<p>
 c) 169 
 d) 128 
 e) 112
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte